Systèmes mécaniques oscillants – Cours (2ème Bac)

Le chapitre sur les systèmes mécaniques oscillants 2ème bac rassemble toutes les connaissances dynamiques et cinématiques étudiées précédemment pour les appliquer à des corps en mouvement périodique. Ce cours dense, incontournable pour les élèves de 2bac sciences maths et de 2bac sciences physique, détaille l’étude de quatre grands oscillateurs mécaniques : le pendule élastique (système masse-ressort), le pendule de torsion, le pendule pesant et son cas particulier, le pendule simple.

1. Le pendule élastique (Système solide-ressort)

Le pendule élastique est constitué d’un solide de masse m attaché à un ressort à spires non jointives, de raideur K. Lorsqu’on écarte le solide de sa position d’équilibre, il effectue des allers-retours.

La force responsable de ce mouvement de rappel est la tension du ressort : T = – K.x.i.

L’application de la deuxième loi de Newton (dans le cas horizontal sans frottement) aboutit à l’équation différentielle : x” + (K/m).x = 0.

La solution de cette équation différentielle est une fonction sinusoïdale de la forme : x(t) = Xmax.cos((2π/T0).t + φ), avec la période propre T0 = 2π.√(m/K).

2. Le pendule de torsion

Le pendule de torsion est formé d’un fil métallique (de constante de torsion C) auquel est suspendue une barre (de moment d’inertie JΔ) en son centre. Si on écarte la barre d’un angle θ et qu’on la lâche, le fil exerce un couple de rappel tendant à ramener la barre à sa position d’équilibre.

Le moment de ce couple de rappel est : Mc = – C.θ.

L’application de la relation fondamentale de la dynamique de rotation (RFD) conduit à l’équation différentielle : θ” + (C/JΔ).θ = 0.

La période propre de ce pendule est : T0 = 2π.√(JΔ/C).

3. Le pendule pesant et le pendule simple

Un pendule pesant est un solide mobile en rotation autour d’un axe horizontal ne passant pas par son centre d’inertie (G). L’écart de sa position d’équilibre engendre un mouvement d’oscillation sous l’action de son propre poids.

Dans le cas des petites oscillations (sin(θ) ≈ θ), l’équation différentielle s’écrit : θ” + (m.g.d/JΔ).θ = 0, avec une période propre T0 = 2π.√(JΔ/(m.g.d)).

Le cas particulier du pendule simple

Le pendule simple est un modèle idéal d’un pendule pesant. Il est composé d’une petite masse ponctuelle m, attachée à un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable. Pour de petites oscillations, son équation devient : θ” + (g/L).θ = 0.

La période propre du pendule simple, très souvent demandée au baccalauréat, ne dépend ni de sa masse ni de l’amplitude (c’est l’isochronisme des petites oscillations) :

T0 = 2π.√(L/g).

4. Le phénomène d’amortissement

Dans la réalité, les forces de frottement (fluide ou solide) dissipent l’énergie mécanique du système. L’amplitude des oscillations diminue progressivement au cours du temps. On distingue trois régimes d’amortissement :

• Régime pseudo-périodique : Si l’amortissement est faible, le système oscille avec une amplitude décroissante (la pseudo-période T ≈ T0).
• Régime critique : Le système retourne à sa position d’équilibre le plus rapidement possible sans osciller.
• Régime apériodique : Si l’amortissement est très fort, le système met beaucoup de temps à revenir à sa position d’équilibre sans aucune oscillation.