Les mouvements plans 2ème Bac – Cours complet

L’étude de les mouvements plans 2ème bac représente l’une des applications les plus importantes et les plus fréquentes des lois de Newton. Ce cours détaillé est destiné aux élèves des filières 2bac sciences physique, 2bac sciences maths et 2bac svt. Il vous apprendra comment modéliser mathématiquement le mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme, et comment analyser le comportement d’une particule chargée soumise à un champ magnétique uniforme (la force de Lorentz). La maîtrise absolue de ces deux situations physiques est indispensable pour exceller à l’examen national de physique-chimie.

1. Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme

La première grande partie du chapitre sur les mouvements plans 2ème bac est consacrée à l’étude balistique. Imaginez un objet (le projectile) lancé dans les airs avec une certaine vitesse initiale (v0) formant un angle α (appelé angle de tir) avec l’horizontale. Si l’on néglige la résistance de l’air et la poussée d’Archimède, le projectile n’est soumis qu’à son propre poids (P).

Équations horaires du mouvement

L’application de la deuxième loi de Newton (P = m.aG) nous permet de déduire que l’accélération du centre d’inertie est strictement égale au vecteur champ de pesanteur (aG = g). En projetant cette équation vectorielle sur un repère orthonormé (O, x, y), on obtient un système d’équations horaires fondamentales :

• Sur l’axe horizontal (Ox) : Le mouvement est rectiligne uniforme. L’accélération est nulle (ax = 0). L’équation horaire de la position s’écrit : x(t) = (v0.cosα).t
• Sur l’axe vertical (Oy) : Le mouvement est rectiligne uniformément varié. L’accélération vaut ay = -g (si l’axe Oy est dirigé vers le haut). L’équation horaire devient : y(t) = -½.g.t² + (v0.sinα).t

L’équation de la trajectoire

En combinant les deux équations horaires (en exprimant le temps t en fonction de x depuis la première équation, puis en remplaçant ce t dans la deuxième), on élimine la variable temps. On obtient alors l’équation de la trajectoire, qui décrit la forme mathématique du parcours du projectile dans l’espace :

y(x) = – g / (2.v0².cos²α) . x² + x.tan(α)

Cette équation est celle d’une parabole. C’est la preuve mathématique que la trajectoire d’un projectile lancé dans le vide est toujours parabolique, une notion extrêmement fréquente dans les sujets d’examens de 2bac sciences physique et 2bac svt.

La flèche et la portée du tir

L’analyse de la parabole nous permet de définir deux grandeurs caractéristiques très importantes de la balistique :

La flèche (H) : Il s’agit de l’altitude maximale atteinte par le projectile au cours de son vol. Au sommet exact de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse s’annule (vy = 0). On montre que H = (v0².sin²α) / (2.g).

La portée (D) : C’est la distance horizontale maximale franchie par le projectile avant de retomber à son altitude de départ (y = 0). Son expression mathématique est D = (v0².sin(2α)) / g. On remarque que la portée est maximale pour un angle de tir de 45°.

2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

La seconde partie du cours aborde une situation physique différente mais tout aussi importante pour les élèves de 2bac sciences maths et physique : le comportement d’une particule portant une charge électrique q et entrant avec une vitesse v dans une zone de l’espace où règne un champ magnétique uniforme B.

La force magnétique de Lorentz

Dès que la particule pénètre dans le champ magnétique, elle subit une force magnétique appelée force de Lorentz. Son expression vectorielle fait appel au produit vectoriel :

F = q.v ∧ B

Les caractéristiques de cette force sont primordiales : sa direction est toujours perpendiculaire au plan formé par les vecteurs v et B, et son sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite (ou du tire-bouchon) en tenant compte du signe de la charge q.

Un mouvement circulaire et uniforme

Puisque la force de Lorentz est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse v, elle ne modifie jamais la valeur de la vitesse, mais modifie continuellement sa direction. Par conséquent, la puissance de cette force est nulle, et l’énergie cinétique de la particule reste parfaitement constante. L’application de la deuxième loi de Newton dans le repère local de Frenet prouve que le mouvement de la particule dans le plan (perpendiculaire à B) est circulaire et uniforme.

Le rayon R de la trajectoire circulaire décrite par la particule est donné par la relation très célèbre :

R = (m.v) / (|q|.B)

Ce résultat fondamental est largement utilisé dans le fonctionnement des accélérateurs de particules (comme le cyclotron) ou des spectromètres de masse.

Comprendre les mouvements plans 2ème bac exige de la rigueur mathématique. Après avoir bien assimilé ces démonstrations théoriques, il est absolument nécessaire de passer à la résolution d’applications concrètes pour s’approprier les techniques de projection et d’analyse de courbes.