Bienvenue à tous les élèves du Tronc Commun Scientifique (BIOF). Nous mettons à votre disposition dans cet article exclusif des cours complets et détaillés sur les ensembles de nombres. Cette première leçon de mathématiques est cruciale pour votre réussite scolaire, car elle pose les bases solides de tout le calcul algébrique et de l’analyse mathématique que vous étudierez cette année.
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Les points essentiels du cours
Cette leçon traite de la classification des nombres dans différents ensembles imbriqués. Voici la structure et les définitions fondamentales à retenir :
1. L’ensemble des nombres entiers naturels (N)
L’ensemble N comprend tous les nombres entiers positifs utilisés pour compter des objets réels.
Exemples : 0, 1, 2, 3, 4, 100, etc.
Ces nombres ne comportent pas de signe négatif et pas de partie décimale.
2. L’ensemble des nombres entiers relatifs (Z)
L’ensemble Z regroupe les nombres entiers naturels et leurs opposés négatifs.
Exemples : -5, -3, -1, 0, 1, 2, 10, etc.
Chaque nombre entier naturel appartient également à l’ensemble des entiers relatifs.
3. L’ensemble des nombres décimaux (D)
L’ensemble D comprend les nombres qui possèdent un nombre fini de chiffres après la virgule.
Exemples : 1.5, -2.75, 0.125, etc.
Un nombre décimal peut toujours s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
4. L’ensemble des nombres rationnels (Q)
L’ensemble Q est constitué de tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient (une fraction) de deux nombres entiers relatifs, où le dénominateur est non nul.
Exemples : 1/3, -7/4, 22/7, etc.
Certains nombres rationnels ont un nombre infini de chiffres après la virgule (comme 1/3 = 0.3333…), mais ces chiffres se répètent de façon périodique.
5. L’ensemble des nombres réels (R)
L’ensemble R est le plus grand ensemble étudié au Tronc Commun. Il regroupe tous les nombres précédents ainsi que les nombres irrationnels (dont la partie décimale est infinie et non périodique).
Exemples d’irrationnels : racine carrée de 2, pi (3.14159…), etc.
L’ensemble R représente graphiquement tous les points d’une droite numérique continue.
Relation d’inclusion entre les ensembles
Il est fondamental de comprendre comment ces ensembles sont imbriqués les uns dans les autres. Cette relation d’inclusion s’écrit de la manière suivante :
N est inclus dans Z, qui est inclus dans D, qui est inclus dans Q, qui est inclus dans R.
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