Oscillations libres d’un circuit RLC série – Exercices (2ème Bac)

La théorie du circuit oscillant étant parfois abstraite, le passage aux exercices oscillations libres d’un circuit RLC série 2ème bac est la seule méthode efficace pour s’approprier les concepts. Cette compilation de séries d’exercices en PDF s’adresse directement aux élèves de 2bac sciences physique, 2bac sciences maths et 2bac svt. En travaillant ces fiches, vous apprendrez à établir l’équation différentielle, à vérifier mathématiquement sa solution sinusoïdale, à calculer l’énergie dissipée par effet Joule, et à entretenir les oscillations.

1. Résolution de l’équation différentielle (Cas idéal LC)

L’une des questions les plus classiques à l’examen de physique consiste à vous donner la solution sinusoïdale q(t) = Qm.cos( (2π/T0).t + φ ) et à vous demander de prouver qu’elle vérifie bien l’équation différentielle du circuit idéal LC non amorti : (d²q / dt²) + (1 / LC).q = 0.

La méthode de résolution est toujours la même :

1. Calculez la dérivée première (l’intensité) : i = dq/dt = – Qm.(2π/T0).sin( (2π/T0).t + φ ).
2. Calculez la dérivée seconde : d²q/dt² = – Qm.(2π/T0)².cos( (2π/T0).t + φ ) = – (2π/T0)² . q(t).
3. Remplacez cette expression dans l’équation différentielle. Pour que l’égalité soit vraie à tout instant t, vous retrouverez obligatoirement l’expression de la période propre T0 = 2π√(L.C).

2. L’exploitation des graphes énergétiques

Les élèves de 2bac sciences physique rencontrent souvent des graphes montrant l’évolution simultanée de l’énergie électrique Ee (dans le condensateur) et de l’énergie magnétique Em (dans la bobine) au cours du temps.

Voici les clés pour lire ces graphiques sans se tromper :

• À l’instant initial t=0, le condensateur est généralement chargé au maximum. L’énergie Ee est donc à son maximum, tandis que le courant est nul (Em = 0).
• Lorsque la courbe de Ee diminue, la courbe de Em augmente : c’est le transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine.
• Si l’on vous demande de calculer l’énergie dissipée par effet Joule entre deux instants t1 et t2, il vous suffit de lire sur le graphe l’énergie totale (Etot = Ee + Em) à l’instant t1, puis à l’instant t2. La variation (Etot(t2) – Etot(t1)) représentera exactement la perte d’énergie sous forme de chaleur.

3. L’entretien des oscillations (Circuit RLC + Générateur)

Puisque le circuit RLC réel perd de l’énergie à cause de la résistance totale Rtot, les oscillations finissent par s’annuler. Pour compenser cette perte et obtenir un régime sinusoïdal d’amplitude constante (oscillations entretenues), on insère dans le circuit un générateur spécial (souvent modélisé par un montage à amplificateur opérationnel).

Ce générateur délivre une tension proportionnelle à l’intensité du courant : ug = k.i.

L’astuce pour résoudre ces exercices de 2bac svt ou maths consiste à refaire la loi des mailles en incluant cette nouvelle tension. On obtient une nouvelle équation différentielle. Pour que les oscillations soient parfaitement entretenues (non amorties), le terme contenant (dq/dt) doit obligatoirement s’annuler. Cela permet de déduire la valeur du coefficient k : k = Rtot. Le générateur se comporte donc mathématiquement comme une “résistance négative” qui annule l’effet Joule global.