Oscillations libres d’un circuit RLC série – Cours (2ème Bac)

Le chapitre sur les oscillations libres d’un circuit RLC série est le point culminant de l’étude de l’électricité au lycée. Conçu pour les élèves des filières 2bac sciences physique, 2bac sciences maths et 2bac svt, ce cours analyse ce qui se produit lorsqu’un condensateur initialement chargé se décharge dans une bobine. L’interaction entre ces deux composants, combinée à la présence d’une résistance, donne naissance à des phénomènes d’oscillations électriques très particuliers qu’il faut savoir mettre en équation.

1. Les différents régimes d’oscillations dans le circuit RLC

Lorsqu’on relie un condensateur de capacité C (préalablement chargé) à une bobine d’inductance L et de résistance interne r, en série avec un conducteur ohmique de résistance R, on obtient un circuit RLC. La résistance totale du circuit est Rtot = R + r.

L’observation de la tension aux bornes du condensateur (uc) à l’oscilloscope révèle trois régimes possibles, dictés par la valeur de la résistance totale :

• Le régime pseudopériodique : Si la résistance est faible, la tension uc oscille de part et d’autre de zéro, mais l’amplitude maximale de ces oscillations diminue progressivement au cours du temps. C’est l’amortissement. On parle alors de pseudo-période (T).
• Le régime apériodique : Si la résistance est très grande, l’amortissement est tellement fort que la tension uc chute vers zéro sans jamais osciller (elle ne traverse pas l’axe des temps).
• Le régime critique : C’est la limite exacte entre les deux régimes précédents. La tension retourne à zéro le plus rapidement possible sans osciller.

2. L’équation différentielle du circuit RLC

Comme pour les dipôles RC et RL, l’étude mathématique débute toujours par la loi d’additivité des tensions (loi des mailles). Dans notre circuit fermé, on a :

uL + uR + uc = 0

En remplaçant uR par R.i et uL par L.(di/dt) + r.i, et en sachant que i = dq/dt et q = C.uc, on aboutit à l’équation différentielle fondamentale vérifiée par la charge q :

L.(d²q / dt²) + Rtot.(dq / dt) + (1/C).q = 0

Le terme intermédiaire (contenant la dérivée première dq/dt multipliée par la résistance totale) est mathématiquement responsable de l’amortissement du signal.

3. Le cas idéal : Le circuit LC (oscillations non amorties)

Pour comprendre la base des oscillations, on étudie souvent le modèle idéal du circuit LC, où la résistance totale du circuit est considérée comme nulle (Rtot = 0). L’équation différentielle se simplifie alors grandement :

(d²q / dt²) + (1 / LC).q = 0

La solution de cette équation différentielle est purement sinusoïdale de la forme : q(t) = Qm.cos( (2π/T0).t + φ ). Le système effectue des oscillations libres et non amorties avec une période propre T0, donnée par la célèbre relation de Thomson :

T0 = 2π√(L.C)

Dans la réalité (circuit RLC à faible amortissement), la pseudo-période T mesurée sur l’oscilloscope est pratiquement égale à cette période propre T0.

4. L’aspect énergétique et l’effet Joule

Dans un circuit RLC réel, l’énergie totale (Etot) du système est la somme de l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur (Ee = ½.q²/C) et de l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine (Em = ½.L.i²).

La dérivation de cette énergie totale par rapport au temps donne :

d(Etot) / dt = – Rtot.i²

Cette relation (toujours négative car un carré est positif) prouve que l’énergie totale du circuit diminue au cours du temps. Cette perte d’énergie est due à la dissipation sous forme de chaleur au niveau des résistances du circuit : c’est ce qu’on appelle la dissipation par effet Joule.

La compréhension de ces phénomènes nécessite une bonne maîtrise des dérivées mathématiques. Téléchargez nos cours complets en PDF pour retrouver toutes les démonstrations pas à pas.