Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé 2ème Bac – Cours complet

L’étude du circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé 2ème bac représente un chapitre fondamental pour les élèves de 2bac sciences maths et de 2bac sciences physique. Ce cours vous permettra d’analyser le comportement d’un circuit électrique soumis à une tension alternative sinusoïdale, de comprendre la notion de déphasage entre la tension et l’intensité, et de maîtriser le phénomène de résonance électrique. La rigueur mathématique, notamment l’utilisation des nombres complexes et des vecteurs de Fresnel, y joue un rôle central.

1. Le courant et la tension en régime alternatif sinusoïdal

Lorsqu’un dipôle RLC (composé d’un conducteur ohmique R, d’une bobine d’inductance L et de résistance r, et d’un condensateur C) est branché à un générateur de basses fréquences (GBF), ce dernier impose au circuit une tension alternative sinusoïdale de fréquence f.

Expressions mathématiques

L’évolution temporelle de la tension et de l’intensité s’écrit sous la forme mathématique suivante :

• La tension imposée : u(t) = Um . cos(ω.t + φu)
• L’intensité du courant : i(t) = Im . cos(ω.t + φi)

Dans ces formules, Um et Im sont les grandeurs maximales (ou amplitudes). La grandeur ω = 2πf représente la pulsation en radian par seconde (rad/s). Les termes φu et φi désignent les phases à l’origine des temps. À noter que les valeurs efficaces mesurées par les multimètres sont directement liées aux valeurs maximales par la relation : U = Um / √2 et I = Im / √2.

2. Le déphasage (Δφ)

Le déphasage de la tension par rapport à l’intensité est défini par la différence : Δφ = φu – φi. Cette valeur indique le décalage temporel entre les deux courbes sinusoïdales observées sur un oscilloscope.

• Si Δφ > 0, on dit que la tension (u) est en avance de phase sur l’intensité (i). C’est le cas d’un circuit à caractère inductif.
• Si Δφ < 0, la tension est en retard de phase sur l’intensité. C’est un circuit à caractère capacitif.
• Si Δφ = 0, la tension et l’intensité sont en phase. C’est le cas de la résonance d’intensité.

Le déphasage peut être calculé à partir du décalage temporel (τ) mesuré sur l’écran de l’oscilloscope grâce à la relation absolue : |Δφ| = 2π . (τ / T) = ω . τ, où T est la période du signal.

3. L’impédance du circuit (Z)

En régime sinusoïdal forcé, l’équivalent de la résistance pour l’ensemble du circuit RLC s’appelle l’impédance (notée Z, mesurée en Ohms Ω). Elle relie les valeurs efficaces (ou maximales) de la tension et du courant selon la loi d’Ohm généralisée : U = Z . I (ou Um = Z . Im).

L’impédance globale d’un circuit RLC série s’obtient généralement à l’aide de la construction de Fresnel. Sa formule complète est :

Z = √[ (Rt)² + (L.ω – 1/(C.ω))² ]

Où Rt représente la résistance totale du circuit (Rt = R + r). Dans cette expression, L.ω est l’impédance propre de la bobine (réactance inductive), et 1/(C.ω) est l’impédance du condensateur (réactance capacitive).

4. Le phénomène de résonance d’intensité

La résonance est le phénomène le plus étudié dans les épreuves nationales de 2bac sciences maths et de 2bac sciences physique. La résonance d’intensité se produit lorsque l’intensité efficace I (ou l’amplitude Im) atteint sa valeur maximale.

Les conditions de la résonance

La résonance est atteinte si et seulement si l’impédance Z du circuit est minimale. D’après la formule de Z, ce minimum correspond à Z = Rt. Cela implique mathématiquement que la partie réactive s’annule :

L.ω – 1/(C.ω) = 0    ⇔    L.C.ω² = 1

À cet instant précis, la fréquence imposée par le générateur est exactement égale à la fréquence propre (f0) du circuit oscillant : f = f0 = 1 / (2π√(LC)).

Caractéristiques à la résonance

Lors de la résonance, le circuit RLC série se comporte purement comme un conducteur ohmique (de résistance Rt). Le déphasage entre la tension et l’intensité est totalement nul (Δφ = 0), ce qui signifie que u(t) et i(t) sont parfaitement en phase.

Afin de bien assimiler ces concepts, notamment la maîtrise de la construction de Fresnel et de la bande passante, nous vous conseillons de vous exercer avec les séries de problèmes pratiques.